#\int \cos(2\cdot x)^8\cdot \sin(2\cdot x) \,\dd x=# #-{{\cos(2\cdot x)^9}\over{18}} + C#

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Aplicamos el método de sustitución con #g(x)=-{{x^8}\over{2}}# y #h(x)=\cos(2\cdot x)#, porque en ese caso se aplica #g(h(x)) \cdot h'(x)=\cos(2\cdot x)^8\cdot \sin(2\cdot x)#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(2\cdot x)^8\cdot \sin(2\cdot x) \,\dd x&=& \displaystyle \int -{{\cos(2\cdot x)^8}\over{2}} \cdot -2\cdot \sin(2\cdot x) \, \dd x \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(x)) \cdot h'(x) \, \dd x \\
\text{ con } h'(x)=-2\cdot \sin(2\cdot x)} \\ &=& \displaystyle \int \left(-{{\cos(2\cdot x)^8}\over{2}} \right) \, \dd(\cos(2\cdot x)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(x)=\dd (h(x))} \\ &=& \displaystyle \int -{{u^8}\over{2}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\cos(2\cdot x)=u} \\ &=& \displaystyle -{{u^9}\over{18}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle -{{\cos(2\cdot x)^9}\over{18}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\cos(2\cdot x)}
\end{array}\]