#\int \sin(y)^3 \,\dd y=# #{{\cos(y)^3}\over{3}}-\cos(y) + C#

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Nous appliquons l'intégration par substitution avec #g(y)=y^2-1# et #h(y)=\cos(y)#, car alors #g(h(y)) \cdot h'(y)=\sin(y)^3#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \sin(y)^3 \,\dd y&=& \displaystyle \int \left(\cos(y)^2-1\right) \cdot -\sin(y) \, \dd y \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 2: écriture sous la forme }\int g(h(y)) \cdot h'(y) \, \dd y \text{ avec } h'(y)=-\sin(y)} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule trigonométrique }\sin^2(y)=1-\cos^2(y)} \\ &=& \displaystyle \int \cos(y)^2-1 \, \dd(\cos(y)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 3: réécriture en utilisant }h'(y)=\dd (h(y))} \\ &=& \displaystyle \int u^2-1 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 4: substitution de }\cos(y)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^3}\over{3}}-u +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 5: primitive}} \\ &=& \displaystyle {{\cos(y)^3}\over{3}}-\cos(y) +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 6: substitution de }u=\cos(y)}
\end{array}\]