Definite integral

Intégration: The definite integral

Definite integral

Supposez que #\orange F# est une primitive de la fonction #\blue f#. L'intégrale définie de #\blue f# avec la borne inférieure #a# et la borne supérieure #b# est:

\[\int_a^b \blue f(x) \; \dd x = \orange F(b) - \orange F(a)\]

Nous utilisons souvent la notation #\left[\orange F(x)\right]_a^b# pour #\orange F(b) - \orange F(a)#.

Exemple

# \begin{array}{rcl}\displaystyle \int_0^3 \blue{x^2} \; \dd x &=& \left[\orange{\frac{1}{3}x^3}\right]_0^3\\ &=& \frac{1}{3} \cdot 3^3-\frac{1}{3} \cdot 0^3\\ &=& 9-0 \\ &=&9 \end {array} #

Constante d'intégration

Comme #\orange F(b)# et #\orange F(a)# ont la même constante d'intégration #\green C#, il n'a pas d'importance quelle valeur de #\green C# nous choisissons pour la solution. Nous choisissons souvent #\green C=0#.

Règles de calcul

Les règles de calcul des intégrales indéfinies sont valables pour les intégrales définies.

Calculer l'intégrale définie suivante:
\[\int_{-7}^{7} 6 x \,\dd x\]

#0#

Les intégrales définies sont calculées avec la formule suivante:
\[\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\dd x = F(b) - F(a)\]
Ainsi, pour calculer une intégrale définie, nous devons d'abord déterminer la primitive de la fonction:
\[\begin{array}{rcl}
F(x) &=&\displaystyle \int f(x) \; \dd x \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{définition du primitif}}\\
&=&\displaystyle \int 6 x \; \dd x \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{substitué }f(x)=6 x \text{ dans l'equation}}\\
&=&6\cdot \displaystyle\int x\,\dd x\\
&&\phantom{xxx}\blue{\displaystyle \int cx^n \; {\dd}x = c\cdot \displaystyle \int x^n\;{\dd}x \text{ avec }c=6}\\
&=&6 \left(\displaystyle \cfrac{x^2}{2}+ C\right)\\
&&\displaystyle \phantom{xxx}\blue{\int x^{n} \; \dd x = \displaystyle\cfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \text{ avec }n=1}\\
&=&\displaystyle 3 x^2 + C\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplifié}}\\
&=&\displaystyle 3 x^2\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{omis la constante d'intégration}}\\
\end{array}\]
Maintenant que la primitive est connue, l'intégrale définie peut être calculée:
\[\begin{array}{rcl}
\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,\dd x&=& F(b) - F(a)\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{définition d'une intégrale définie}}\\
\displaystyle \int_{-7}^{7} 6 x \,\dd x&=&\displaystyle \left(3 (7)^2\right) - \left(3 (-7)^2\right) \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{substitué les valeurs limites dans la primitive}}\\
&=&\displaystyle147-147\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplifié}}\\
&=&\displaystyle 0\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{simplifié}}
\end{array}\]

Nouveau exemple