Inéquations de degré supérieur à 2

Fonctions: Polynômes de degré supérieur à 2

Inéquations de degré supérieur à 2

De la même manière que nous avons résolu des inéquations du second degré, nous pouvons résoudre des inéquations de degré supérieur à 2.

Résolution d'inéquations de degré supérieur à 2

	Procédure	Exemple
	Nous résolvons l'inéquation suivante \[\blue{f(x)} \gt \green{g(x)}\] où #\blue{f(x)}# et #\green{g(x)}# sont des polynômes.	#\blue{x^6+x^3+6} \gt \green{-2x^3+10}# Les solutions sont: #x \lt \sqrt[3]{-4} \land x \gt 1#.
Étape 1	Nous résolvons l'équation \[\blue{f(x)} = \green{g(x)}\]
Étape 2	Nous traçons les graphes de #\blue{f(x)}# et de #\green{g(x)}#.
Étape 3	À l'aide de l'étape 1 et 2, nous déterminons les valeurs de #x# pour lesquelles l'inéquation est vraie.

Notez que cette procédure est également valable pour les inégalités larges #\geq# et #\leq#. Alors les valeurs #x# des points d'intersection font également partie de la solution.

Tous ou aucun S'il n'y a pas de points d'intersection à l'étape 1, alors il y a deux options quant à la solution de l'inéquation.

tous les points de #x# sont solution de l'inéquation. L'inégalité est toujours vraie.
aucun point de #x# est solution de l'inéquation. L'inégalité n'est jamais vraie.

La même chose peut se produire s'il y a un point d'intersection à l'étape 1 qui est un point de tangence. Alors il y a seulement égalité dans ce point et l'inégalité est vraie ou non.

Étape alternative 2

Au lieu de tracer les graphes, nous pouvons également substituer quelques valeurs pour #x# dans #\blue{f(x)}# et #\green{g(x)}# pour déterminer sur quels intervalles l'inégalité #\blue{f(x)}\gt \green{g(x)}# est vraie.

Il suffit de choisir une valeur pour chaque intervalle déterminé par les valeurs #x# des points d'intersection de #\blue{f(x)}# et #\green{g(x)}#.

Dans l'exemple ci-dessus et ci-contre, les points d'intersection de #\blue{f(x)}# et #\green{g(x)}# ont pour abscisses #x = \sqrt[3]{-4}# et #x=1#. Donc, nous choisissons une valeur plus petit que # \sqrt[3]{-4}#, une valeur entre #x= \sqrt[3]{-4}# et #x=1#, et une valeur plus grand que #1#. Ainsi, nous obtenons tous les renseignements nécessaires pour savoir quand #\blue{f(x)}# est plus grand que #\green{g(x)}#.

Exemple

Dans l'exemple ci-dessus, nous substituons quelques valeurs pour #x#.

#\blue f(-2)=62 \gt \green g(-2)=26 #

#\blue f(0)=6 \lt\green g(0)=10#

#\blue f(2)=78 \gt \green g(2)=-6#

Les solutions sont #x \lt \sqrt[3]{-4} \land x \gt 1# comme l'inégalité est vraie pour #x=-2# et #x=2#.

Résolvez l'inéquation
\[b^6-8\cdot b^3-5\cdot b+40 \lt 25-5\cdot b\tiny\]
Donnez votre réponse sous la forme

#b \gt b_1\land b \lt b_2# ou #b\lt b_1 \lor b \gt b_2#;
#b \lt b_1# ou #b \gt b_1#;
#aucun# ou #tous#,

avec #b_1# et #b_2# des nombres.

#b\gt 3^{{{1}\over{3}}}\land b\lt 5^{{{1}\over{3}}}#

Étape 1	Nous résolvons l'équation #b^6-8\cdot b^3-5\cdot b+40=25-5\cdot b#. \[\begin{array}{rcl} b^6-8\cdot b^3-5\cdot b+40&=&25-5\cdot b \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{équation à résoudre}}\\ b^6-8\cdot b^3+15&=&0 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{réduction à }0}\\ \left(b^3-5\right)\cdot \left(b^3-3\right)&=&0 \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{factorisation}}\\ b^3-5=0 &\lor& b^3-3=0 \\&&\phantom{xxx}\blue{A\cdot B=0 \text{ si et seulement si }A=0\lor B=0}\\ b=3^{{{1}\over{3}}} &\lor& b=5^{{{1}\over{3}}} \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{résolution des équations}}\\ \end{array} \]
Étape 2	Nous traçons les graphes de #y=b^6-8\cdot b^3-5\cdot b+40# (bleu) et de #y=25-5\cdot b# (vert).
Étape 3	Nous déterminons les solutions de l'inéquation à partir du graphique. \[b\gt 3^{{{1}\over{3}}}\land b\lt 5^{{{1}\over{3}}}\]

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