#\int \cos(x)^7\cdot \sin(x) \,\dd x=# #-{{\cos(x)^8}\over{8}} + C#

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Nous appliquons l'intégration par substitution avec #g(x)=-x^7# et #h(x)=\cos(x)#, car alors #g(h(x)) \cdot h'(x)=\cos(x)^7\cdot \sin(x)#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(x)^7\cdot \sin(x) \,\dd x&=& \displaystyle \int -\cos(x)^7 \cdot -\sin(x) \, \dd x \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 2: écriture sous la forme }\int g(h(x)) \cdot h'(x) \, \dd x \text{ avec } h'(x)=-\sin(x)} \\ &=& \displaystyle \int -\cos(x)^7 \, \dd(\cos(x)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 3: réécriture en utilisant }h'(x)=\dd (h(x))} \\ &=& \displaystyle \int -u^7 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 4: substitution de }\cos(x)=u} \\ &=& \displaystyle -{{u^8}\over{8}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 5: primitive}} \\ &=& \displaystyle -{{\cos(x)^8}\over{8}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 6: substitution de }u=\cos(x)}
\end{array}\]