Functies: Hogeregraadsfuncties
Hogeregraadsvergelijkingen en de abc-formule
Sommige vergelijkingen met polynomen kunnen we oplossen met de abc-formule. We gebruiken hiervoor substitutie.
|
Stappenplan We lossen een vergelijking met polynomen in #x# op met de abc-formule. |
Voorbeeld #2x^4+3x^2-2=0# |
|
| Stap 1 | Schrijf de vergelijking in de vorm #a \blue x^{\blue n \cdot 2}+b \blue{x^n} +c=0#. | #2\blue{x}^{\blue2 \cdot 2}+3\blue{x^2}-2=0# |
| Stap 2 | Substitueer #\blue{x^n}=\green u#. | #2\green u^2+3\green u-2=0# |
| Stap 3 | Los de ontstane kwadratische vergelijking in #\green u# op met de abc-formule. | #\green u=-2 \lor \green u =\tfrac{1}{2}# |
| Stap 4 | Substitueer #\green u =\blue{x^n}# in de gevonden oplossing(en). | #\blue{x^2}=-2 \lor \blue{x^2}=\tfrac{1}{2}# |
| Stap 5 | Bepaal de oplossingen in #x# van de in stap 4 ontstane vergelijkingen. | #x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}} \lor x=\tfrac{1}{\sqrt{2}}# |
#x=\sqrt[9]{{{2}\over{9}}} \lor x=\sqrt[9]{{{1}\over{2}}} #
| Stap 1 | We schrijven de vergelijking in de vorm: \[9 x^{2 \cdot 9}-{{13}\over{2}} x^{9}+1=0\] |
| Stap 2 | We substitueren #x^9=u#. Dat geeft: \[9 u^2-{{13}\over{2}} u+1=0\] |
| Stap 3 | We lossen de ontstane vergelijking in #u# op met de abc-formule. De discriminant is gelijk aan: \[\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule voor de discriminant}}\\ &=& \left(-{{13}\over{2}}\right)^2-4 \cdot 9 \cdot 1 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\ &=& {{25}\over{4}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\end{array}\] Aangezien de discriminant positief is, zijn er twee oplossingen. Deze zijn: \[\begin{array}{rcl}u=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} &\lor& u=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule voor de oplossingen}}\\ u=\frac{-{-{{13}\over{2}}}-\sqrt{{{25}\over{4}}}}{2 \cdot 9} &\lor& u=\frac{-{-{{13}\over{2}}}+\sqrt{{{25}\over{4}}}}{2 \cdot 9}\\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule ingevuld}}\\ u={{2}\over{9}} &\lor& u={{1}\over{2}} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{uitgerekend}}\end{array}\] |
| Stap 4 | Nu substitueren we #u=x^{9}# in de gevonden oplossingen dat geeft \[x^{9}={{2}\over{9}} \lor x^{9}={{1}\over{2}}\] |
| Stap 5 | Tot slot lossen we deze vergelijkingen op de wortel te nemen. Dat geeft als oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking: \[x=\sqrt[9]{{{2}\over{9}}} \lor x=\sqrt[9]{{{1}\over{2}}}\] |
Ontgrendel volledige toegang
Toegang voor leraar
Vraag een demo account aan. Wij helpen je graag op weg met onze digitale leeromgeving.
