Rekenregels voor differentiëren: Toepassingen van de afgeleide
Raaklijnen herbekeken
Bij de introductie (zie inleiding en het begrip differentiequotiënt) van differentiëren startten we met de vraag: kunnen we de helling van een raaklijn vinden? Nu weten we hoe we dat doen moeten. Dit zorgt ervoor dat we de raaklijn zelf kunnen berekenen.
Laat #f# een functie zijn die differentieerbaar is in #a#. De raaklijn aan #f# in #a# is wordt gegeven door de lineaire vergelijking \[y-f(a)=f'(a)\cdot (x-a)\tiny.\]
Het punt #\rv{x,y}=\rv{a,f(a)}# is een oplossing van de lineaire vergelijking. Dit betekent dat #\rv{a,f(a)}# op de lijn ligt.
Verder is de helling #f'(a)# van #f# in #a# gelijk aan de helling van deze lijn. De lijn is dus de unieke rechte door #\rv{a,f(a)}# met helling #f'(a)#. Dit betekent dat het de raaklijn aan #f# in #a# is.
Het is niet nodig deze formule voor de raaklijn te onthouden. Het is van belang te weten dat het de unieke lijn is door het punt #\rv{a,f(a)}# met richtingscoëfficiënt #f'(a)#.
Dit geeft een methode om de raaklijn te berekenen.
Stel het functievoorschrift #l(x)# van de raaklijn in het punt #\rv{1,{{11}\over{5}}}# op. Voer je antwoord in in de vorm #a\cdot x+b# voor gepaste waarden van #a# en #b#.
Het gevraagde functievoorschrift heeft de vorm #l(x)=a\cdot x+b#, waarbij #a# en #b# reële getallen zijn.
Het getal #a# is de helling van de raaklijn, dus #a=f'(1)#. De afgeleide van de functie #f# is gelijk aan #f'(x)={{2\cdot x}\over{5}}#, zodat #a=f'(1)={{2}\over{5}}#.
Het functievoorschrift van de raaklijn ziet er dus uit als: #l(x)={{2}\over{5}} \cdot x +b#, waarbij alleen #b# nog berekend moet worden. Dit doen we door het feit te gebruiken dat de raaklijn gaat door het punt #\rv{1,{{11}\over{5}}} #. Dit betekent dat #{{11}\over{5}}={{2}\over{5}} \cdot 1 +b# en dus dat #b={{11}\over{5}}-{{2}\over{5}} = {{9}\over{5}}#. De formule voor de raaklijn is dus: #l(x)={{2\cdot x}\over{5}}+{{9}\over{5}}#.
