#\int -\cos(5\cdot x)^4\cdot \sin(5\cdot x) \,\dd x=# #{{\cos(5\cdot x)^5}\over{25}} + C#

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Aplicamos el método de sustitución con #g(x)={{x^4}\over{5}}# y #h(x)=\cos(5\cdot x)#, porque en ese caso se aplica #g(h(x)) \cdot h'(x)=-\cos(5\cdot x)^4\cdot \sin(5\cdot x)#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int -\cos(5\cdot x)^4\cdot \sin(5\cdot x) \,\dd x&=& \displaystyle \int {{\cos(5\cdot x)^4}\over{5}} \cdot -5\cdot \sin(5\cdot x) \, \dd x \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(x)) \cdot h'(x) \, \dd x \\
\text{ con } h'(x)=-5\cdot \sin(5\cdot x)} \\ &=& \displaystyle \int \left({{\cos(5\cdot x)^4}\over{5}} \right) \, \dd(\cos(5\cdot x)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(x)=\dd (h(x))} \\ &=& \displaystyle \int {{u^4}\over{5}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\cos(5\cdot x)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^5}\over{25}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle {{\cos(5\cdot x)^5}\over{25}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\cos(5\cdot x)}
\end{array}\]