Enkele eigenschappen van orthogonale afbeeldingen

Orthogonale en symmetrische afbeeldingen: Orthogonale afbeeldingen

Enkele eigenschappen van orthogonale afbeeldingen

Hier zijn enkele algemene eigenschappen van orthogonale afbeeldingen.

Eigenschappen van orthogonale afbeeldingen Laat #V# een reële inproductruimte zijn en #L:V\to V# een orthogonale afbeelding.

Als #M :V\rightarrow V# ook een orthogonale afbeelding is, dan is de samenstelling #L\,M# ook orthogonaal.
De afbeelding #L# is injectief.
Als #V# eindigdimensionaal is, dan is #L# inverteerbaar en is ook #L^{-1}# orthogonaal.
Elke reële eigenwaarde van #L# is gelijk aan #1# of #-1#.
Als #W# een eindigdimensionale lineaire deelruimte van #V# is die invariant is onder #L#, dan is ook het orthogonale complement #W^\perp# invariant onder #L#.
Als #L# het orthogonale complement van een vector #\vec{v}# ongelijk #\vec{0}# van #V# vast houdt, dan is #L# hetzij de identiteit hetzij de orthogonale spiegeling #S_{\vec{v}}#.

1. Omdat #L# en #M# orthogonaal zijn, geldt voor alle #\vec{x},\vec{y}\in V# \[\norm{L\,M(\vec{x})-L\,M(\vec{y} )}=\norm{M(\vec{x}) -M(\vec{x})}=\norm{\vec{x}- \vec{y}}\] Dit laat zien dat #L\,M# orthogonaal is.

2. Stel #L(\vec{x})= L(\vec{y})#. Dan geldt \( L(\vec{x})-L(\vec{y})=\vec{0}\), en dus #\norm{L(\vec{x}) - L(\vec{y})}=0#. Omdat #L# orthogonaal is, volgt #\norm{\vec{x}-\vec{y}}=0#, en, vanwege de positief-definietheid van de norm #\vec{x} -\vec{y}=\vec{0}#, zodat \(\vec{x}=\vec{y}\). Dit bewijst dat #L# injectief is.

3. Eerst tonen we aan dat #L# inverteerbaar is. De afbeelding #L# is eindigdimensionaal en lineair, en volgens uitspraak 2 ook injectief. Uit Inverteerbaarheidscriteria voor een lineaire afbeelding volgt nu dat #L# inverteerbaar is. Alle #\vec{x}\in V# voldoen aan #\vec{x}=L\, L^{-1}(\vec{x})#. Omdat #L# orthogonaal is, volgt hieruit dat \[ \norm{\vec{x}}=\norm{L\,L^{-1}(\vec{x})}=\norm{L^{-1}(\vec{x})}\] zodat #L^{-1}# orthogonaal is.

4. Stel dat #\lambda# een reële eigenwaarde is van een orthogonale afbeelding #L:V\rightarrow V#, en laat #\vec{v}# een eigenvector van #L# bij #\lambda# zijn. Dan geldt \[\abs{\lambda}\cdot\norm{\vec{v}}= \norm{ \lambda\vec{v}}=\norm{L(\vec{v})}=\norm{\vec{v}}\]Omdat #\vec{v}\ne\vec{0}#, geeft positiviteit van de norm dat #\norm{\vec{v}}\gt0#, zodat #\abs{\lambda}=1#. Hieruit volgt #\lambda =1# of #\lambda=-1#.

5. Stel dat #W# een eindigdimensionale #L#-invariante lineaire deelruimte van #V# is. Dan is de beperking van #L# tot #W# een inverteerbare afbeelding #W\to W# vanwege uitspraak 3. Laat #\vec{x}# een vector van #W^\perp# zijn. Dan geldt voor elke vector #\vec{w}# van #W#:

\[\begin{array}{rcl}\dotprod{\vec{w}}{L(\vec{x})} &=& \dotprod{(L\,L^{-1}(\vec{w}))}{L(\vec{x})}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\left.L\right|_W\text{ is inverteerbaar}}\\ &=& \dotprod{(L^{-1}(\vec{w}))}{\vec{x}}\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{L\text{ is orthogonaal}}\\ &=& 0\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{L^{-1}(\vec{w})\text{ behoort tot }W\text{ en }\vec{x}\text{ tot }W^\perp}\end{array}\]Hiermee is aangetoond dat \(L(\vec{x})\) loodrecht staat op elke vector #\vec{w}# van #W#, dat wil zeggen: \(L(\vec{x})\) behoort tot #W^\perp#.

6. Als #L# aan de voorwaarden voldoet, dan is #\vec{v}# een eigenvector van #L#. Vanwege 4 is de bijbehorende eigenwaarde gelijk aan #1# or #-1#. In het eerste geval is #L# de identiteit. In het tweede geval is #L# de unieke lineaire afbeelding die #\vec{v}# stuurt naar #-\vec{v}# en elke vector in het orthogonale complement #\{\vec{v}\}^{\perp}# vast houdt. Dat betekent dat #L = S_{\vec{v}}#.

Oneindige dimensieIn oneindigdimensionale inproductruimten bestaan er orthogonale afbeeldingen die geen inverse hebben. Hier is een voorbeeld. Laat #P# de vectorruimte van alle veeltermen in #x# zijn. Dit is een inproductruimte met betrekking tot het inproduct waarbij #\basis{1,x,x^2,\ldots}# orthonormaal is. Laat #L:P\to P# de afbeelding zijn die bestaat uit vermenigvuldiging met #x#. Dan is #L# orthogonaal en injectief, maar niet bijectief.

Complexe eigenwaardenZoals we later zullen zien, hebben alle complexe eigenwaarden van een orthogonale afbeelding absolute waarde #1#.

DeterminantOmdat de determinant het product is van alle eigenwaarden (met de juiste multipliciteiten) en omdat niet-reële eigenwaarden voorkomen in paren van aan elkaar complex geconjugeerde eigenwaarden met absolute waarde #1#, volgt uit uitspraak 4 van de stelling dat de determinant van een orthogonale afbeelding op een eindigdimensionale inproductruimte gelijk is aan #1# of #-1#. We zullen hier later op terugkomen.

TegenvoorbeeldWe laten aan de hand van een tegenvoorbeeld zien dat de eis in uitspraak 5 dat de deelruimte #W# eindigdimensionaal is, noodzakelijk is. Laat #P# de inproductruimte zijn van alle veeltermen in #x# met #\basis{1,x,x^2,\ldots}# als orthogonale basis. De afbeelding #L_x:P\to P# die bestaat uit vermenigvuldiging met #x# is duidelijk orthogonaal. De lineaire deelruimte #W# bestaande uit alle veeltermen zonder constante term is duidelijk een oneindigdimensionale #L_x#-invariante deelruimte van #P# met orthogonaal complement #W^\perp = \linspan{1}#. Maar #L_x(1) = x# ligt niet in #W^\perp#, dus #W^\perp# is niet #L_x#-invariant.

Stel dat #L: \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3# een orthogonale afbeelding is met

\(L(\rv{-1,-1,1}) = \rv{-1,-1,1}\)
\(\rv{1,0,1}\) is een eigenvector bij eigenwaarde #-1#
De dimensie van de eigenruimte van #L# bij eigenwaarde #1# is gelijk aan #1#.

Bepaal de matrix #A# van #L#.

#A = # # \matrix{-{{1}\over{3}} & {{2}\over{3}} & -{{2}\over{3}} \\ {{2}\over{3}} & -{{1}\over{3}} & -{{2}\over{3}} \\ -{{2}\over{3}} & -{{2}\over{3}} & -{{1}\over{3}} \\ }#

De vector #\rv{-1,-1,1}# wordt vastgehouden door #L# en ligt dus in de eigenruimte bij eigenwaarde #1#. Omdat #L# orthogonaal is, zijn de enige reële eigenwaarden #1# en #-1#. De eigenruimte bij eigenwaarde #-1# is dus #1#-dimensionaal of #2#-dimensionaal. In het eerste geval zou er een niet-reële eigenwaarde moeten zijn, maar dan zou de complex geconjugeerde ook een eigenwaarde moeten zijn, wat onmogelijk is omdat de dimensie van de inproducruimte gelijk is aan #3#. De eigenruimte van #L# bij eigenwaarde #-1# heeft dus dimensie #2#.

We zoeken een vector die loodrecht staat op zowel \( \rv{-1,-1,1}\) als \(\rv{1,0,1}\). Deze is te vinden door het oplossen van een stel lineaire vergelijkingen. Een snellere methode gebruikt het uitproduct:
\[\rv{-1,-1,1}\times \rv{1,0,1} = \rv{-1,2,1 }\]Dit moet een eigenvector zijn van #L# bij eigenwaarde #-1#. Zo vinden we dat de matrix #L_\beta# van #L# ten opzichte van de basis
\[\beta = \basis{\rv{-1,-1,1},\rv{1,0,-1},\rv{-1,2,1 }}\] de diagonaalmatrix is met op de diagonaal #1#, #-1#, #-1#. We concluderen dat de matrix van #L# (ten opzichte van de standaardbasis #\varepsilon#) gelijk is aan
\[\begin{array}{rcl} L_{\varepsilon} &=& {}_\varepsilon I_\beta \,L_\beta \, {}_\beta I_\varepsilon\\
&=&\matrix{-1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ }\,\matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ } \,\matrix{-1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ }^{-1} \\
&=&\matrix{-1 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ }\, \matrix{-{{1}\over{3}} & -{{1}\over{3}} & {{1}\over{3}} \\ {{1}\over{2}} & 0 & {{1}\over{2}} \\ -{{1}\over{6}} & {{1}\over{3}} & {{1}\over{6}} \\ } \\
&=& \matrix{-{{1}\over{3}} & {{2}\over{3}} & -{{2}\over{3}} \\ {{2}\over{3}} & -{{1}\over{3}} & -{{2}\over{3}} \\ -{{2}\over{3}} & -{{2}\over{3}} & -{{1}\over{3}} \\ }
\end{array}\]

Nieuw voorbeeld