#\int -\cos(9\cdot t)^5\cdot \sin(9\cdot t) \,\dd t=# #{{\cos(9\cdot t)^6}\over{54}} + C#

---

Nous appliquons l'intégration par substitution avec #g(t)={{t^5}\over{9}}# et #h(t)=\cos(9\cdot t)#, car alors #g(h(t)) \cdot h'(t)=-\cos(9\cdot t)^5\cdot \sin(9\cdot t)#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int -\cos(9\cdot t)^5\cdot \sin(9\cdot t) \,\dd t&=& \displaystyle \int {{\cos(9\cdot t)^5}\over{9}} \cdot -9\cdot \sin(9\cdot t) \, \dd t \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 2: écriture sous la forme }\int g(h(t)) \cdot h'(t) \, \dd t \text{ avec } h'(t)=-9\cdot \sin(9\cdot t)} \\ &=& \displaystyle \int {{\cos(9\cdot t)^5}\over{9}} \, \dd(\cos(9\cdot t)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 3: réécriture en utilisant }h'(t)=\dd (h(t))} \\ &=& \displaystyle \int {{u^5}\over{9}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 4: substitution de }\cos(9\cdot t)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^6}\over{54}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 5: primitive}} \\ &=& \displaystyle {{\cos(9\cdot t)^6}\over{54}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 6: substitution de }u=\cos(9\cdot t)}
\end{array}\]